امثله عن الدوال الزائديه

كتابة : جميلة الاشقر في 10 نوفمبر 2023

تعد الدوال الزائدية من الموضوعات المهمة في الرياضيات، حيث ترتبط ارتباطًا وثيقًا بعلم حساب التفاضل والتكامل، والهندسة، والفيزياء. فهي تشبه في خصائصها الدوال المثلثية، لكنها تُستخدم في مجالات أوسع مثل دراسة حركة الأجسام، وانتشار الموجات، وحسابات الهندسة التحليلية. وتأتي أهمية دراسة امثله عن الدوال الزائديه في كونها تساعد الطالب على فهم أعمق للتطبيقات العملية والنظرية لهذه الدوال، مما يجعلها أداة قوية في حل الكثير من المسائل الرياضية والعلمية.

امثله عن الدوال الزائديه

دالة الجيب الزائدي sinh(x)

التعريف:

sinh⁡(x)=ex−e−x2\sinh(x) = \frac{e^x – e^{-x}}{2}sinh(x)=2ex−e−x

مثال عملي: إذا كان x=2x = 2x=2

sinh⁡(2)=e2−e−22≈3.626\sinh(2) = \frac{e^2 – e^{-2}}{2} \approx 3.626sinh(2)=2e2−e−2≈3.626

تستخدم هذه الدالة في حسابات الفيزياء عند دراسة حركة الموجات وانتشار الحرارة.

دالة الجتا الزائدي cosh(x)

التعريف:

cosh⁡(x)=ex+e−x2\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}cosh(x)=2ex+e−x

مثال عملي: إذا كان x=1x = 1x=1

cosh⁡(1)=e1+e−12≈1.543\cosh(1) = \frac{e^1 + e^{-1}}{2} \approx 1.543cosh(1)=2e1+e−1≈1.543

تظهر هذه الدالة عند دراسة شكل الكابل المعلق (Catenary)، وهو مثال كلاسيكي في الهندسة المعمارية.

دالة الظل الزائدي tanh(x)

التعريف:

tanh⁡(x)=sinh⁡(x)cosh⁡(x)=ex−e−xex+e−x\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^x – e^{-x}}{e^x + e^{-x}}tanh(x)=cosh(x)sinh(x)=ex+e−xex−e−x

مثال عملي: إذا كان x=0.5x = 0.5x=0.5

tanh⁡(0.5)≈0.462\tanh(0.5) \approx 0.462tanh(0.5)≈0.462

تستخدم هذه الدالة في علم الأعصاب لوصف كيفية انتقال الإشارات الكهربائية بين الخلايا العصبية.

دالة القاطع الزائدي sech(x)

التعريف:

sech(x)=1cosh⁡(x)\text{sech}(x) = \frac{1}{\cosh(x)}sech(x)=cosh(x)1

مثال عملي: إذا كان x=2x = 2x=2

sech(2)=1cosh⁡(2)≈0.265\text{sech}(2) = \frac{1}{\cosh(2)} \approx 0.265sech(2)=cosh(2)1≈0.265

هذه الدالة تظهر في الحلول الرياضية لبعض المعادلات التفاضلية الجزئية.

دالة الضابط الزائدي coth(x)

التعريف:

coth⁡(x)=cosh⁡(x)sinh⁡(x)\coth(x) = \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)}coth(x)=sinh(x)cosh(x)

مثال عملي: إذا كان x=3x = 3x=3

coth⁡(3)≈1.005\coth(3) \approx 1.005coth(3)≈1.005

تستعمل هذه الدالة في ميكانيكا الكم لوصف بعض الظواهر المتعلقة بالجسيمات.

قد يهمك :

تكامل الدوال الزائدية العكسية

الدوال الزائدية العكسية هي نظائر الدوال المثلثية العكسية، لكنها تعتمد على التعريفات الأسية. أهم هذه الدوال:

arcsinh(x) (الجيب الزائدي العكسي)
arccosh(x) (الجتا الزائدي العكسي)
arctanh(x) (الظل الزائدي العكسي)

تكامل arcsinh(x)

∫sinh⁡−1(x) dx\int \sinh^{-1}(x)\, dx∫sinh−1(x)dx

الحل:
نستخدم التكامل بالتجزئة: ∫sinh⁡−1(x) dx=x⋅sinh⁡−1(x)−x2+1+C\int \sinh^{-1}(x)\, dx = x \cdot \sinh^{-1}(x) – \sqrt{x^2+1} + C∫sinh−1(x)dx=x⋅sinh−1(x)−x2+1+C

مثال: ∫sinh⁡−1(2) dx=x⋅sinh⁡−1(2)−x2+1+C\int \sinh^{-1}(2)\, dx = x \cdot \sinh^{-1}(2) – \sqrt{x^2+1} + C∫sinh−1(2)dx=x⋅sinh−1(2)−x2+1+C

تكامل arccosh(x)

∫cosh⁡−1(x) dx\int \cosh^{-1}(x)\, dx∫cosh−1(x)dx

الحل: ∫cosh⁡−1(x) dx=x⋅cosh⁡−1(x)−x2−1+C,x≥1\int \cosh^{-1}(x)\, dx = x \cdot \cosh^{-1}(x) – \sqrt{x^2-1} + C, \quad x \geq 1∫cosh−1(x)dx=x⋅cosh−1(x)−x2−1+C,x≥1

مثال: ∫cosh⁡−1(x) dx=xcosh⁡−1(x)−x2−1+C\int \cosh^{-1}(x)\, dx = x \cosh^{-1}(x) – \sqrt{x^2 – 1} + C∫cosh−1(x)dx=xcosh−1(x)−x2−1+C

تكامل arctanh(x)

∫tanh⁡−1(x) dx\int \tanh^{-1}(x)\, dx∫tanh−1(x)dx

الحل: ∫tanh⁡−1(x) dx=x⋅tanh⁡−1(x)+12ln⁡(1−x2)+C,∣x∣<1\int \tanh^{-1}(x)\, dx = x \cdot \tanh^{-1}(x) + \frac{1}{2}\ln(1-x^2) + C, \quad |x|<1∫tanh−1(x)dx=x⋅tanh−1(x)+21ln(1−x2)+C,∣x∣<1

مثال: ∫tanh⁡−1 ⁣(12) dx=x⋅tanh⁡−1 ⁣(12)+12ln⁡(1−x2)+C\int \tanh^{-1}\!\left(\tfrac{1}{2}\right)\, dx = x \cdot \tanh^{-1}\!\left(\tfrac{1}{2}\right) + \tfrac{1}{2}\ln(1-x^2) + C∫tanh−1(21)dx=x⋅tanh−1(21)+21ln(1−x2)+C

مشتقة الدوال الزائدية العكسية

مشتقات الدوال الزائدية العكسية (Derivatives of Inverse Hyperbolic Functions) :

مشتقة الدالة arcsinh(x)

ddx(sinh⁡−1(x))=1×2+1\frac{d}{dx}\left(\sinh^{-1}(x)\right) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}dxd(sinh−1(x))=x2+11

مثال: ddx(sinh⁡−1(3x))=3(3x)2+1=39×2+1\frac{d}{dx}\left(\sinh^{-1}(3x)\right) = \frac{3}{\sqrt{(3x)^2 + 1}} = \frac{3}{\sqrt{9x^2+1}}dxd(sinh−1(3x))=(3x)2+13=9×2+13

مشتقة الدالة arccosh(x)

ddx(cosh⁡−1(x))=1x−1 x+1,x>1\frac{d}{dx}\left(\cosh^{-1}(x)\right) = \frac{1}{\sqrt{x-1}\,\sqrt{x+1}}, \quad x > 1dxd(cosh−1(x))=x−1x+11,x>1

مثال: ddx(cosh⁡−1(2x))=22x−1 2x+1\frac{d}{dx}\left(\cosh^{-1}(2x)\right) = \frac{2}{\sqrt{2x-1}\,\sqrt{2x+1}}dxd(cosh−1(2x))=2x−12x+12

مشتقة الدالة arctanh(x)

ddx(tanh⁡−1(x))=11−x2,∣x∣<1\frac{d}{dx}\left(\tanh^{-1}(x)\right) = \frac{1}{1-x^2}, \quad |x|<1dxd(tanh−1(x))=1−x21,∣x∣<1

مثال: ddx(tanh⁡−1(x2))=2×1−(x2)2=2×1−x4\frac{d}{dx}\left(\tanh^{-1}(x^2)\right) = \frac{2x}{1-(x^2)^2} = \frac{2x}{1-x^4}dxd(tanh−1(x2))=1−(x2)22x=1−x42x

مشتقة الدالة arccoth(x)

ddx(coth⁡−1(x))=11−x2,∣x∣>1\frac{d}{dx}\left(\coth^{-1}(x)\right) = \frac{1}{1 – x^2}, \quad |x|>1dxd(coth−1(x))=1−x21,∣x∣>1

مثال: ddx(coth⁡−1(3x))=31−(3x)2=31−9×2\frac{d}{dx}\left(\coth^{-1}(3x)\right) = \frac{3}{1-(3x)^2} = \frac{3}{1-9x^2}dxd(coth−1(3x))=1−(3x)23=1−9×23

مشتقة الدالة arcsech(x)

ddx(sech−1(x))=−1×1−x2,0<x≤1\frac{d}{dx}\left(\text{sech}^{-1}(x)\right) =\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}, \quad 0<x\leq 1dxd(sech−1(x))=−x1−x21,0<x≤1

مثال: ddx(sech−1(x2))=−2xx21−x4=−2×1−x4\frac{d}{dx}\left(\text{sech}^{-1}(x^2)\right) = -\frac{2x}{x^2 \sqrt{1-x^4}} = -\frac{2}{x\sqrt{1-x^4}}dxd(sech−1(x2))=−x21−x42x=−x1−x42

مشتقة الدالة arccsch(x)

ddx(csch−1(x))=−1∣x∣1+x2,x≠0\frac{d}{dx}\left(\text{csch}^{-1}(x)\right) =\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}}, \quad x \neq 0dxd(csch−1(x))=−∣x∣1+x21,x=0

مثال: ddx(csch−1(2x))=−2∣2x∣1+(2x)2=−1∣x∣1+4×2\frac{d}{dx}\left(\text{csch}^{-1}(2x)\right) = -\frac{2}{|2x|\sqrt{1+(2x)^2}} = \frac{1}{|x|\sqrt{1+4x^2}}dxd(csch−1(2x))=−∣2x∣1+(2x)22=−∣x∣1+4×21

قوانين الدوال المثلثية الزائدية

قوانين الدوال المثلثية الزائدية :

التعريفات الأساسية باستخدام الأسس

الجيب الزائدي:

sinh⁡(x)=ex−e−x2\sinh(x) = \frac{e^x – e^{-x}}{2}sinh(x)=2ex−e−x

الجتا الزائدي:

cosh⁡(x)=ex+e−x2\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}cosh(x)=2ex+e−x

الظل الزائدي:

tanh⁡(x)=sinh⁡(x)cosh⁡(x)=ex−e−xex+e−x\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^x – e^{-x}}{e^x + e^{-x}}tanh(x)=cosh(x)sinh(x)=ex+e−xex−e−x

القاطع الزائدي:

\sech(x)=1cosh⁡(x)\sech(x) = \frac{1}{\cosh(x)}\sech(x)=cosh(x)1

الضابط الزائدي:

coth⁡(x)=cosh⁡(x)sinh⁡(x)\coth(x) = \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)}coth(x)=sinh(x)cosh(x)

المماس الزائدي:

\csch(x)=1sinh⁡(x)\csch(x) = \frac{1}{\sinh(x)}\csch(x)=sinh(x)1

العلاقات الأساسية (الهوية)

علاقة فيثاغورس الزائدية:

cosh⁡2(x)−sinh⁡2(x)=1\cosh^2(x) – \sinh^2(x) = 1cosh2(x)−sinh2(x)=1

علاقة أخرى:

tanh⁡2(x)=\sech2(x)1 – \tanh^2(x) = \sech^2(x)1−tanh2(x)=\sech2(x) coth⁡2(x)−1=\csch2(x)\coth^2(x) – 1 = \csch^2(x)coth2(x)−1=\csch2(x)

المشتقات

ddxsinh⁡(x)=cosh⁡(x)\frac{d}{dx} \sinh(x) = \cosh(x)dxdsinh(x)=cosh(x)
ddxcosh⁡(x)=sinh⁡(x)\frac{d}{dx} \cosh(x) = \sinh(x)dxdcosh(x)=sinh(x)
ddxtanh⁡(x)=\sech2(x)\frac{d}{dx} \tanh(x) = \sech^2(x)dxdtanh(x)=\sech2(x)
ddxcoth⁡(x)=−\csch2(x)\frac{d}{dx} \coth(x) = -\csch^2(x)dxdcoth(x)=\csch2(x)
ddx\sech(x)=−\sech(x)tanh⁡(x)\frac{d}{dx} \sech(x) =\sech(x)\tanh(x)dxd\sech(x)=−\sech(x)tanh(x)
ddx\csch(x)=−\csch(x)coth⁡(x)\frac{d}{dx} \csch(x) = -\csch(x)\coth(x)dxd\csch(x)=−\csch(x)coth(x)

التكاملات الأساسية

∫sinh⁡(x)dx=cosh⁡(x)+C\int \sinh(x) dx = \cosh(x) + C∫sinh(x)dx=cosh(x)+C
∫cosh⁡(x)dx=sinh⁡(x)+C\int \cosh(x) dx = \sinh(x) + C∫cosh(x)dx=sinh(x)+C
∫tanh⁡(x)dx=ln⁡(cosh⁡(x))+C\int \tanh(x) dx = \ln(\cosh(x)) + C∫tanh(x)dx=ln(cosh(x))+C
∫coth⁡(x)dx=ln⁡∣sinh⁡(x)∣+C\int \coth(x) dx = \ln|\sinh(x)| + C∫coth(x)dx=ln∣sinh(x)∣+C
∫\sech(x)dx=arctan⁡(sinh⁡(x))+C\int \sech(x) dx = \arctan(\sinh(x)) + C∫\sech(x)dx=arctan(sinh(x))+C
∫\csch(x)dx=ln⁡∣tanh⁡(x2)∣+C\int \csch(x) dx = \ln|\tanh(\tfrac{x}{2})| + C∫\csch(x)dx=ln∣tanh(2x)∣+C

الصيغ المضاعفة (Double Angle Formulas)

sinh⁡(2x)=2sinh⁡(x)cosh⁡(x)\sinh(2x) = 2\sinh(x)\cosh(x)sinh(2x)=2sinh(x)cosh(x)
cosh⁡(2x)=cosh⁡2(x)+sinh⁡2(x)\cosh(2x) = \cosh^2(x) + \sinh^2(x)cosh(2x)=cosh2(x)+sinh2(x)
tanh⁡(2x)=2tanh⁡(x)1+tanh⁡2(x)\tanh(2x) = \frac{2\tanh(x)}{1+\tanh^2(x)}tanh(2x)=1+tanh2(x)2tanh(x)