تعد الأعداد المركبة من المفاهيم المهمة في الرياضيات المتقدمة، حيث ظهرت لتوسيع مفهوم الأعداد الحقيقية وحل المعادلات التي لا يوجد لها حل داخل مجموعة الأعداد الواقعية. فعلى سبيل المثال، لم يكن بالإمكان قديماً إيجاد حل للمعادلة x2+1=0x^2 + 1 = 0x2+1=0 ضمن الأعداد الحقيقية، ومن هنا جاءت الحاجة إلى تعريف وحدة جديدة تُسمى العدد التخيلي ورمزها iii، بحيث i2=−1i^2 = -1i2=−1. ومن خلال هذا المقال، سنتعرف على شرح درس الاعداد المركبة ، وكيفية تمثيلها على الصورة الجبرية a+bia + bia+bi، إضافة إلى العمليات الأساسية عليها مثل الجمع، الطرح، الضرب والقسمة.

محتويات المقال

شرح درس الاعداد المركبة

شرح درس الاعداد المركبة ، تتم العمليات الحسابية على أي أعداد مركبة ، كما يلي :

شرح درس الاعداد المركبة
شرح درس الاعداد المركبة

ظهرت الأعداد المركبة لتوسيع مفهوم الأعداد الحقيقية، وذلك لحل معادلات لم يكن لها حل سابقًا في مجموعة الأعداد الواقعية. على سبيل المثال، المعادلة: x2+1=0x^2 + 1 = 0x2+1=0

لا يمكن حلها ضمن الأعداد الحقيقية، لأن أي عدد مربع نتيجته دائمًا موجبة أو صفر. ومن هنا تم تعريف العدد التخيلي iii حيث: i2=−1i^2 = -1i2=−1

وبالتالي، أصبحت لدينا مجموعة جديدة من الأعداد تُسمى الأعداد المركبة.

تعريف العدد المركب

العدد المركب هو عدد يُكتب على الصورة: z=a+biz = a + biz=a+bi

حيث:

  • aaa: الجزء الحقيقي (Real part).
  • bbb: الجزء التخيلي (Imaginary part).
  • iii: الوحدة التخيلية وتساوي −1\sqrt{-1}−1​.

مثال: 3+2i3 + 2i3+2i

  • الجزء الحقيقي = 3.
  • الجزء التخيلي = 2.

مجموعة الأعداد المركبة

  • يُرمز لها بالرمز ℂ.
  • تشمل جميع الأعداد الحقيقية (عندما يكون b=0b = 0b=0)، وجميع الأعداد التخيلية (عندما يكون a=0a = 0a=0).

العمليات على الأعداد المركبة

1. الجمع

(3+2i)+(1+4i)=(3+1)+(2+4)i=4+6i(3 + 2i) + (1 + 4i) = (3+1) + (2+4)i = 4 + 6i(3+2i)+(1+4i)=(3+1)+(2+4)i=4+6i

2. الطرح

(5+7i)−(2+3i)=(5−2)+(7−3)i=3+4i(5 + 7i) – (2 + 3i) = (5-2) + (7-3)i = 3 + 4i(5+7i)−(2+3i)=(5−2)+(7−3)i=3+4i

3. الضرب

(2+3i)(1+4i)=2+8i+3i+12i2(2 + 3i)(1 + 4i) = 2 + 8i + 3i + 12i^2(2+3i)(1+4i)=2+8i+3i+12i2

وبما أن i2=−1i^2 = -1i2=−1: =2+11i−12=−10+11i= 2 + 11i – 12 = -10 + 11i=2+11i−12=−10+11i

4. القسمة

3+2i1−i\frac{3 + 2i}{1 – i}1−i3+2i​

نضرب البسط والمقام في مرافق المقام (1+i)(1 + i)(1+i): =(3+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=3+3i+2i+2i21−i2= \frac{(3+2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{3 + 3i + 2i + 2i^2}{1 – i^2}=(1−i)(1+i)(3+2i)(1+i)​=1−i23+3i+2i+2i2​ =3+5i−21+1=1+5i2=12+52i= \frac{3 + 5i – 2}{1+1} = \frac{1 + 5i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{5}{2}i=1+13+5i−2​=21+5i​=21​+25​i

المرافق المركب

  • مرافق العدد المركب z=a+biz = a + biz=a+bi هو:

zˉ=a−bi\bar{z} = a – bizˉ=a−bi

  • فائدته: تسهيل عمليات القسمة وحساب القيمة المطلقة.

القيمة المطلقة (المقياس)

القيمة المطلقة للعدد المركب z=a+biz = a + biz=a+bi هي: ∣z∣=a2+b2|z| = \sqrt{a^2 + b^2}∣z∣=a2+b2​

مثال: z=3+4i⇒∣z∣=32+42=25=5z = 3 + 4i \quad \Righ tarrow \quad |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5z=3+4i⇒∣z∣=32+42​=25​=5

التمثيل الهندسي (المستوى المركب)

يمكن تمثيل العدد المركب كنقطة (a,b)(a , b)(a,b) على المستوى الإحداثي:

  • المحور الأفقي = الجزء الحقيقي.
  • المحور العمودي = الجزء التخيلي.

مثال:
العدد 2+3i2 + 3i2+3i يمثل النقطة (2 , 3) في المستوى المركب.

قد يهمك :

إعراب الأعداد المركبة من 11 إلى 19

سنعطيك شرحًا واضحًا ومبسّطًا عن إعراب الأعداد المركبة من 11 إلى 19 مع أمثلة لتسهيل الفهم:

قاعدة عامة

  • الأعداد من (11 إلى 19) تُسمّى أعدادًا مركبة (ما عدا 12 يُعرب بطريقة خاصة).
  • هذه الأعداد تُبنى على فتح الجزأين دائمًا، أي الجزء الأول والجزء الثاني.
  • تُعرب حسب موقعها في الجملة: (فاعل – مفعول به – مبتدأ – خبر … إلخ).

تفصيل الإعراب

1. العدد (11) و (13 – 19)

  • مبني على فتح الجزأين (الأول والثاني).
  • يُعرب حسب موقعه في الجملة.

مثال:
جاءَ أحدَ عشرَ طالبًا.

  • أحدَ: جزء أول من العدد المركب، مبني على الفتح في محل رفع فاعل.
  • عشرَ: الجزء الثاني من العدد المركب، مبني على الفتح لا محل له من الإعراب.
  • طالبًا: تمييز منصوب.

2. العدد (12) (استثناء)

  • الجزء الأول (اثنا / اثنتا) يُعرب إعراب المثنّى (يرتفع بالألف وينصب ويجر بالياء).
  • الجزء الثاني (عشر / عشرة) مبني على الفتح لا محل له من الإعراب.

مثال:
نجحَ اثنا عشرَ طالبًا.

  • اثنا: جزء أول، مرفوع بالألف لأنه مثنّى، في محل رفع فاعل.
  • عشرَ: جزء ثانٍ، مبني على الفتح لا محل له.
  • طالبًا: تمييز منصوب.

مثال آخر:
رأيتُ اثنتي عشرةَ طالبةً.

  • اثنتي: جزء أول، منصوب بالياء لأنه مثنّى.
  • عشرةَ: جزء ثانٍ، مبني على الفتح.
  • طالبةً: تمييز منصوب.

3. العدد (13 – 19)

  • نفس قاعدة 11: مبني على فتح الجزأين.

مثال:
سافرَ خمسةَ عشرَ رجلًا.

  • خمسةَ: جزء أول من العدد، مبني على الفتح في محل رفع فاعل.
  • عشرَ: جزء ثانٍ مبني على الفتح لا محل له.
  • رجلًا: تمييز منصوب.

تمارين الأعداد المركبة مع الحلول

إليكم مجموعة تمارين على الأعداد المركبة (من 11 إلى 19) مع الحلول المفصّلة، لتكون واضحة وسهلة :

التمرين الأول

ضع العدد المناسب في الفراغ مع إعرابه:

  • حضرَ ………. طالبًا.
  • قرأتُ ………. كتابًا.
  • سافرت ………. فتاةً.

الحل:

  1. حضرَ أحدَ عشرَ طالبًا.
    • أحدَ: جزء أول مبني على الفتح في محل رفع فاعل.
    • عشرَ: جزء ثانٍ مبني على الفتح لا محل له.
    • طالبًا: تمييز منصوب.
  2. قرأتُ اثني عشرَ كتابًا.
    • اثني: جزء أول منصوب بالياء لأنه مثنى (في محل مفعول به أول).
    • عشرَ: جزء ثانٍ مبني على الفتح.
    • كتابًا: تمييز منصوب.
  3. سافرت ثلاثَ عشرةَ فتاةً.
    • ثلاثَ: جزء أول مبني على الفتح في محل رفع فاعل.
    • عشرةَ: جزء ثانٍ مبني على الفتح لا محل له.
    • فتاةً: تمييز منصوب.

التمرين الثاني

أعرب ما تحته خط:

  • خمسةَ عشرَ طالبًا مجتهدون.
  • رأيتُ أربعَ عشرةَ زهرةً.
  • نجح اثنا عشرَ لاعبًا.

الحل:

  1. خمسةَ عشرَ: عدد مركب مبني على فتح الجزأين في محل رفع مبتدأ.
    • طالبًا: تمييز منصوب.
  2. أربعَ عشرةَ: عدد مركب مبني على فتح الجزأين في محل نصب مفعول به أول.
    • زهرةً: تمييز منصوب.
  3. اثنا عشرَ:
    • اثنا: جزء أول مرفوع بالألف لأنه مثنّى (فاعل).
    • عشرَ: جزء ثانٍ مبني على الفتح لا محل له.
    • لاعبًا: تمييز منصوب.

التمرين الثالث (صحّح الخطأ)

  • جاء خمس عشرةَ سيارةً.
  • رأيتُ اثنا عشرةَ كتابًا.
  • نجح أحدُ عشرَ طالب.

الحل:

  • ❌ خطأ → ✔ الصحيح: جاء خمسُ عشرةَ سيارةً.
    (جزء العدد الأول “خمسُ” يجب أن يكون مرفوعًا لأنه فاعل).
  • ❌ خطأ → ✔ الصحيح: رأيتُ اثنتي عشرةَ كتابًا.
    (لأن المعدود مذكر “كتاب” فيجب استعمال المؤنث “اثنتي”).
  • ❌ خطأ → ✔ الصحيح: نجح أحدَ عشرَ طالبًا.
    (تمييز العدد يجب أن يكون مفردًا منصوبًا: “طالبًا”).

الدائرة المثلثية الأعداد المركبة

الدائرة المثلثية والأعداد المركبة :

ما هي الدائرة المثلثية؟

  • الدائرة المثلثية هي دائرة مركزها عند نقطة الأصل (0،0) ونصف قطرها يساوي 1.
  • تُستخدم لتمثيل الزوايا والقياسات المثلثية (جيب، جيب تمام، ظل…).
  • أي نقطة M(x,y)M(x,y)M(x,y) على الدائرة تحقق العلاقة:

x2+y2=1x^2 + y^2 = 1×2+y2=1

  • حيث:
    • x=cos⁡(θ)x = \cos(\theta)x=cos(θ)
    • y=sin⁡(θ)y = \sin(\theta)y=sin(θ)

الأعداد المركبة وعلاقتها بالدائرة المثلثية

  • العدد المركب يُكتب على الشكل:

z=x+iyz = x + iyz=x+iy

حيث i2=−1i^2 = -1i2=−1.

  • إذا أخذنا zzz على الدائرة المثلثية، فإن:

∣z∣=x2+y2=1|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = 1∣z∣=x2+y2​=1

  • أي أن الأعداد المركبة ذات المعيار = 1 تقع على الدائرة المثلثية.

الصيغة المثلثية للعدد المركب

يمكن كتابة العدد المركب zzz باستعمال الزاوية θ\thetaθ: z=cos⁡(θ)+isin⁡(θ)z = \cos(\theta) + i \sin(\theta)z=cos(θ)+isin(θ)

وتُسمّى الصيغة المثلثية (أو المعيارية).

  • مثال:
    إذا كان θ=π3\theta = \frac{\pi}{3}θ=3π​: z=cos⁡(π3)+isin⁡(π3)=12+i32z = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \tfrac{1}{2} + i\tfrac{\sqrt{3}}{2}z=cos(3π​)+isin(3π​)=21​+i23​​

وهذا العدد يقع على الدائرة المثلثية.

صيغة أويلر (Euler)

باستخدام الدائرة المثلثية، يمكن كتابة العدد المركب: z=eiθz = e^{i\theta}z=eiθ

وهي مكافئة للعلاقة: eiθ=cos⁡(θ)+isin⁡(θ)e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)eiθ=cos(θ)+isin(θ)